对一道经典习题的再探究

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文 |苏艺伟

    试题   

    试题分析   

    解法分析   

对于已知二元等式条件的二元函数最值问题，解法各有千秋，如消去法，换元法，基本不等式法，导数法，构造法等等。对于不同的题目应该具体问题具体分析。结合本题的条件，笔者探索了几种较为适合本题的解法，说明如下。

1

消元法

分析：由于题目中含有两个变量，很自然的一个想法就是减元。利用消元法，将y表示成x的函数，代入所求的二元函数，化为一元函数的最值问题，进而借助导数工具求出最值。

2

构造“1”法

3

数列思想

4

判别式法

5

利用一个结论

6

利用椭圆不等式

分析：解法5和解法6都是利用到相应的不等式结论，经过一系列的构造，配凑出满足不等式结论的结构特征，进而求解。能不能正确地配凑，转化是运用该法的关键。

7

利用拉格朗日函数

    教学启示   

1

解题要抓住本质

 本质是事物的内部联系，是事物的根本性质，体现在数学解题中就是问题的核心与关键。本题的本质是二元函数的最值问题，如果抓住这个本质则可以采取正确的策略求解，如果没有抓住本质，则可能是如下错误的解法：

上述解法的错误之处在于两次使用基本不等式却没有保证等号成立的条件一致，从更深层次的角度来看，是由于没有抓住问题的本质从而采取了错误的解题策略。由此可见，抓住问题的本质是解题的关键之所在。

2

解题要探究多解

新课标指出，高中数学的课程目标包括让学生形成批判性的思维习惯，锲而不舍的科学态度，崇尚数学的理性精神。 因此在抓住题目本质的基础上，我们要多角度考查试题，思考不同的解法，以此培养学生的思维能力。在多解的基础上进一步深化数学理性认识，自觉建构认知结构并积极优化，从而形成见解独到的解题思路。

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